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Es geht ja nicht darum ob der Nachmieter bekannt war oder nicht, sondern wann dieser definitiv eingezogen ist. Nebenbei muss man dem Vermieter auch etwas Zeit geben, um die Wohnung zu inspizieren und hier und da noch etwas zu modernisieren. Wenn der Dezember noch unter Ihre Mietzeit fällt, so müssen Sie auch diese Miete noch zahlen. Ob Sie früher ausziehen oder nicht, ist Ihre Sache und hat mit der Mietzahlung nichts zu tun. Der Vertrag läuft dadurch weiter, so wie er war.
Wenn der Nachmieter wirklich am 15. Dezember eingezogen ist (das sollten Sie beweisen können), so hätten Sie mit ihm über eine Mietzahlungsteilung für diesen Monat reden können.